复数计算器 - 复数运算工具
在线复数计算器，支持复数加减乘除运算、模幅角计算、极坐标转换、共轭复数计算。适用于数学学习、工程计算等场景。
复数输入
3 + 4i
1 + 2i
运算结果
极坐标形式
复数 A
模
5.0000
幅角
0.9273 rad
5.0000 × e^(0.9273i)
复数 B
模
2.2361
幅角
1.1071 rad
2.2361 × e^(1.1071i)
单复数计算
共轭复数
平方根
倒数 (1/z)
平方 (z²)
复数运算公式
加法： (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
减法： (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
乘法： (a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
除法： (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)
模： |z| = √(a² + b²)
幅角： arg(z) = arctan(b/a)
# 什么是复数？
复数是实数的扩展，形式为 a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位（满足 i² = -1）。 复数在数学、物理、工程等领域有广泛应用，特别是在交流电路分析、信号处理、量子力学等方面。
# 复数的表示方法
- 代数形式: a + bi，最常用的表示形式
- 极坐标形式: r(cos θ + i·sin θ)，其中 r 是模，θ 是幅角
- 指数形式: re^(iθ)，使用欧拉公式表示
- 几何表示: 在复平面上用点或向量表示
# 复数的运算规则
- 加减法: 实部与实部相加减，虚部与虚部相加减
- 乘法: 使用分配律展开，注意 i² = -1
- 除法: 分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母实数化
- 共轭复数: 改变虚部的符号，即 a + bi 的共轭为 a - bi
# 复数的应用
- 电气工程: 交流电路分析，阻抗计算
- 信号处理: 傅里叶变换，频域分析
- 控制系统: 传递函数，稳定性分析
- 量子力学: 波函数，量子态表示
- 流体力学: 势流理论，复变函数
# 常见问题 (FAQ)
什么是虚数单位 i？
虚数单位 i 是一个特殊的数，满足 i² = -1。它使得负数也可以开平方根。 在实数范围内，负数没有实数平方根，但在复数范围内，-1 的平方根就是 i。 虚数单位在工程和物理中非常重要，特别是在交流电路分析中。
什么是共轭复数？
共轭复数是指将复数的虚部符号取反而得到的新复数。例如，a + bi 的共轭复数是 a - bi。 共轭复数的一个重要性质是：复数与其共轭复数的乘积等于该复数模的平方，即 (a + bi)(a - bi) = a² + b²。 这个性质在复数除法中非常有用，可以用来有理化分母。
复数的模和幅角是什么？
复数的模（也叫绝对值或大小）表示复数在复平面上到原点的距离，计算公式为 |z| = √(a² + b²)。 幅角表示复数在复平面上的方向，是复数向量与正实轴的夹角，计算公式为 arg(z) = arctan(b/a)。 使用模和幅角可以方便地进行复数的乘除运算，以及极坐标和指数形式的转换。